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中考数学压轴题分析:周长最大值问题

2020-11-10  Hi老刘老师

    最短路径问题特别是将军饮马问题在平时遇到比较多。但是周长的最大值,或者说线段和最大值,此类问题出现的频率不高。不过也是会出现。一般的方式就是利用设未知数表示线段长,利用二次函数的性质进行解题。

    【中考题目】

    (2020·扬州)如图1,已知点O在四边形ABCD的边AB上,且OA=OB=OC=OD=2,OC平分∠BOD,与BD交于点G,AC分别与BD、OD交于点E、F.
    (1)求证:OC∥AD;
    (2)如图2,若DE=DF,求的值;
    (3)当四边形ABCD的周长取最大值时,求的值.

    【分析】

    本题实质是一个圆的有关问题,因为点O到A、B、C、D的长度都是相等的。

    题(1)证明两直线平行,利用角的平分线与等腰三角形,可以得到结论。

    题(2)观察图2可以发现△ABD是等腰直角三角形。可以往这个方向去思考。如下图,根据DE=DF,可以得∠DEF=∠DFE,那么可以得到两个绿色的三角形两对角相等,可以得到∠AOD=∠ACB=90°,就可以得到等腰直角三角形了。

    那么利用下面的两个三角形相似,可以得到AF与AE的比值,就是AO与AD的比值即可。

    题(3)求四边形的周长的最小值,就是求AD与BC、CD的和最小,也就是求AD+2CD的最小值,可以考虑设其中一个为x,例如CD=x,则BC也为x,再利用垂径定理与勾股定理,表示出BG、CG、OG等的长度,发现AD其实为OG的2倍。然后用配方法或者二次函数的顶点坐标可以求出结论。

    【答案】(1)证明:∵AO=OD,
    ∴∠OAD=∠ADO,
    ∵OC平分∠BOD,
    ∴∠DOC=∠COB,
    又∵∠DOC+∠COB∠=∠OAD+∠ADO,
    ∴∠ADO=∠DOC,
    ∴CO∥AD;
    (2)解:如图1,

    ∵OA=OB=OC,
    ∴∠ADB=90°,
    ∴△AOD和△ABD为等腰直角三角形,
    ∴ADAO,
    ∴,
    ∵DE=EF,
    ∴∠DFE=∠DEF,
    ∵∠DFE=∠AFO,
    ∴∠AFO=∠AED,
    又∠ADE=∠AOF=90°,
    ∴△ADE∽△AOF,
    ∴.
    (3)解:如图2,

    ∵OD=OB,∠BOC=∠DOC,
    ∴△BOC≌△DOC(SAS),
    ∴BC=CD,
    设BC=CD=x,CG=m,则OG=2﹣m,
    ∵OB²﹣OG²=BC²﹣CG²,
    ∴4﹣(2﹣m)²=x²﹣m²,
    解得:m,
    ∴OG=2,
    ∵OD=OB,∠DOG=∠BOG,
    ∴G为BD的中点,
    又∵O为AB的中点,
    ∴AD=2OG=4,
    ∴四边形ABCD的周长为
    2BC+AD+AB
    =+
    =
    =,
    ∵<0,
    ∴x=2时,四边形ABCD的周长有最大值为10.
    ∴BC=2,
    ∴△BCO为等边三角形,
    ∴∠BOC=60°,
    ∵OC∥AD,
    ∴∠DAC=∠COB=60°,
    ∴∠ADF=∠DOC=60°,∠DAE=30°,
    ∴∠AFD=90°,
    ∴,DFDA,
    ∴.

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